正弦交流电路 ​

TIP

1. 三角函数图示记忆方法

2. 正弦交流电量的概念与特性参数

   • • , 幅值（amplitude），或振幅

     • , 角频率（angular frequency）

     • , 相位（phase），或“初始相位”

     • , 幅角（argument），或“相位”

     • 正弦函数的三要素：幅值、角频率、初始相位

   • 瞬时电压超前（leads） 瞬时电压 相位

   • 有效值：一个时变周期电压在一个周期内消耗在电阻上的功率，可以用一个恒定的电压来等效，该恒定电压就是该时变电压的有效值。当时变电压为正弦函数时，有效值为其峰值的

3. 相量形式与相量图

   • 相量（phasor）是由正弦信号的振幅（）和相位（）构成的一个复数

     

   • 时域 to 相量域（频域），好处是少了时间量，代价是需要复数运算

     • 时域 to 相量域：pick up 振幅和相位，构成一个复数，隐含频率信息 ()

     • 相量域 to 时域：乘以 取实部，

     • 在相量域更容易处理积分和微分

       

   • 电路分析中，时域量常用余弦形式表示，但正弦形式也是可以的

   • 相量分析法：

     • step 1: 电源、RLC元件等相关电路参量转换到相量域；
     
     • step 2: 在相量域进行电路分析；
     • step 3: 将结果从相量域转换到时域；
     • tips: 如果初始电路含有不同的 ，则需对不同 单独分析，在时域上叠加；

   • 阻抗和导纳：电阻和电导在频域中的推广

     • ；（阻抗），（电阻），（电抗） ；
     • ，（导纳），（电导），（电纳）；

   • 相量图即复平面图

     • 因为较多情况是“施加电压，求电流”，所以在描述相位关系时，常用“电流超前/滞后电压多少相位”的形式

     • 感性电路，电流滞后电压

     • 容性电路，电流超前电压

       

4. 频域（相量域）的相关电路定理：

   • 时域中的电路定理在相量域中同样适用
   • 叠加定理需注意：电路中若有不同的频率，只能时域叠加，不能相量域叠加

5. 交流功率分析

   • 瞬时功率：元件两端瞬时电压 和流经元件瞬时电流 的乘积，等于 “常数项 " + " 时变项”
   • 平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值，即瞬时功率的常数项
     • 也可以从相量计算
   • 最大功率传输：
     • 共轭匹配；
     • 若负载指定为纯电阻，则匹配阻值为戴维南阻抗的模，而非实部；
   • 复功率（）：电压相量和电流相量共轭的乘积，系数0.5，即 ，单位 VA
   • 视在功率（）：复功率的模， 单位 VA
   • 有功功率（）：即平均功率，是复功率的实部，单位 W
   • 无功功率（）：复功率的虚部，单位 VAR
   • 功率因数（）：复功率角度的余弦
   • 对于复功率的理解，掌握复平面的表示即可
   
   • 功率因数校准：减小无功功率，即减小上图中的 部分
   • 复功率守恒，视在功率不守恒

习题及参考解答 ​

知识点1：正弦交流量的概念与特性参数 ​

1、有效值为 1V 的正弦交流电压信号衰减 3dB 之后的信号最大值是 ________ V。

A. B. C.1 D.

2、正弦交流激励下，电容两端的电压 ________ 通过它的电流 ________ 度。

A. 超前 B. 滞后 C. 45 D. 90 E. 180

3、正弦交流激励下，电感两端的电压 ________ 通过它的电流 ________ 度。

A. 超前 B. 滞后 C. 45 D. 90 E. 180

4、电流 和 相位差是 ________ ，其中相位超前的是 ________ 。

5、正弦电压 对应的相量表示为 ________ 。

A. B. C. D.

6、正弦量的三要素为________ 、________ 和 ________。

7、电流 的相位 ________ （超前/滞后） ________ 度。

8、电压 与电流 相比，相位差为 ________ 。

A. 超前54° B. 滞后54° C. 超前36° D. 滞后36°

9、正弦电压向量为 （15是有效值），频率为 50 Hz ，则它对应的瞬时表达式为 ________ 。

A. B.

C. D.

10、已知两个支路的电流分别可表示为 ，，比较两者的相位，前者 ________ （超前/滞后）后者 ________ 度。

11、两同频率的正弦电压可表示为 ，，则它们的相位差为 ________ 。

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

12、(1) 根据下图的相量图，求 的相量；

​ (2) 正弦变量 对应的相量为？

参考解答

1. C，对于正弦波，有效值为峰值的 ; 3dB 表示半功率，也即电压幅度为峰值

2. B D

3. A D

4. 135° ， 将 转换成 形式后再比较

5. D

6. 幅值 角频率 初相位

7. 超前 120

8. B

9. D

10. 滞后 135

11. B

12. (1) 方法1：图解法

    

    ​ 由图可得：

    ​ 方法2：

    ​ 由图可知：，

    ​ 故而，

    (2)

知识点2：非纯电阻电路的分析 ​

1、以下电桥的平衡条件是 ________ 。

A. B. C. D.无法平衡

2、若在一个 50 μF 的电容两端施加一电压 ，则流经该电容的电流值为 ________ 。

3、若 RC 串联电路对频率为 100 Hz 的正弦波的阻抗为 (2 - j6) Ω，则该串联电路对频率为 300 Hz 的正弦波的阻抗为 ________ 。

4、如果 RL 串联电路对频率为 300Hz 的正弦信号的阻抗为 (1 + j3) Ω，则对频率为 100Hz 的正弦信号，该串联电路的阻抗为 ________ ，构成并联电路时的导纳为 ________ 。

5、若 RC 串联电路对频率为 100 Hz 的正弦波的阻抗为 (3 - j9) Ω，则该串联电路对频率为 300 Hz 的正弦波的阻抗为 ________ 。

6、右图所示电路中， 。则 = ________ （用极坐标形式表示）

7、下图中，若电流 ，电压 ，那么该元件是 ________ 。

A. 电感 B. 电容 C. 电阻

8、下图所示电桥的平衡条件是 ________ 。

A. B. C. D. 无法平衡

9、下图所示电路中，，通过 电阻电流的有效值应为__ __。

A. 4 A B. C. D. 2 A

10、若 RC 串联电路对频率为 100 Hz 的正弦波的阻抗为 (4 - j16) Ω，则该串联电路对频率为 400 Hz 的正弦波的阻抗为 ________ 。

11、下图为三个阻抗串联的电路：，，，外加电压 。求电流及各阻抗上的电压。

12、下图中， A，求

13、下图中， rad/s，求输入阻抗

14、求下图的等效阻抗

参考解答

1. A

2. mA 或 mA

3. (2 - j2) Ω

4. (1 + j) Ω (1 - j) S

5. (3 - j3) Ω

6. 1.131∠81.87° A

7. B

8. D

9. B

   

10. (4 - j4) Ω

11. 解：

12. 
13. 
14. 

知识点3：电路定理在相量域的推广 ​

1、用叠加原理求解下图所示电路中的 。

2、正弦稳态电路中，系统可以用戴维南定理等效为电源 和等效阻抗 。要使系统传输到负载 上的平均功率最大，负载和系统等效阻抗之间的关系是 ________ 。

A. B. C. D.

3、用节点电压法求下图所示电路在稳态下的 。

4、已知下图所示电路中 ， ，求流过电容的电流 。

5、下图中，ab 左侧部分可用诺顿等效电路等效，求

(1) 诺顿等效电流源 和等效阻抗 ；

(2) 。

6、计算输出电阻 Z 。

7、请使用节点电压法，分析下面电路，计算 和

8、计算下图中的电流

9、采用叠加定理分析以下电路，计算

10、下面电路中，求 端的戴维南等效电路

11、用节点电压法，求

12、下面电路中， A，请用网孔电流法，求

13、下图中， A，请用网孔电流法，求

14 、求下列电路的戴维南和诺顿等效电路

15、如下图所示电路，已知 ，，用叠加原理求电容两端的电压 。

参考解答

1. 解：采用叠加定理，

   先考虑电压源 12cos3t V 独立作用时， 电容阻抗为，电感阻抗为

   得到 ；

   考虑电流源 4sin2t V = 4cos(2t - 90°) V 独立作用时，电容阻抗为，电感阻抗为

   得到 ;

   考虑电压源 10V 独立作用时：

   得到 V;

   故 。

2. C

3. 解：

   在频域内求解，给出电路图的相量表示。

   

   对节点 1 和节点 2 分别用 KCL，得到：

   将上述两式变成标准形式

   对上述方程组求解，得到

   

   转变到时域形式，得到

4. 解：

   (1) 仅考虑电流源，turn off 电压源

   ​

   ​

   (2) 仅考虑电压源，turn off 电流源

   ​

   ​

   (3) 时域叠加

   综上，

5. 解：

   (1) 输出端短路，求 。

   ​

   (2) 独立源置零，在端口处施加一 1∠0° V 的电压，求等效阻抗 。

   ​

6. 解：

   对左上方小 电阻网络和下方小 电容网络使用 转换，得到：

   

   那么可以得到，电路的等效输出阻抗为

   ​

   ​

   ​

   ​

7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 

13. 

    
14. 

15. 解：

    (1) 保留 5 V 的电压源，turn off 电流源和 电压源

    ​ 电路稳定后，电感等效于短路，故有：

    (2) 保留电流源，turn off 两个电压源

    ​

    ​ 解得：

    ​

    (3) 保留 电压源，turn off 电流源和 5 V 的电压源

    ​

    ​ 解得：

    ​

    (4) 综上，

知识点4：交流功率分析 ​

1、正弦交流电路中，哪个功率是不守恒的 ________ 。

A. 有功功率 B. 无功功率 C. 视在功率 D. 复功率

2、为提高电路的功率因数，对感性负载，应（串/并）________ 接 ________ 元件。

3、如下图所示正弦交流电路，已知电源电压 ，负载2的电压 ，电流 ，则负载1吸收的有功功率为 ________ ，负载2吸收的无功功率为 ________ 。

4、当负载获取最大功率时，电路的传输效率 ________ 是50%。

A. 一定 B. 不一定

5、复功率的模等于 ________ 。

A. 平均功率 B. 瞬时功率 C. 视在功率 D. 功率因数

6、右图（元件参数单位欧姆）所示正弦交流电路的功率因数为__ __。

A. 1 B. 0.707 C. 0.5 D. 0.25

7、瞬时功率的单位是 ________ ，有功功率的单位是 ________ ，无功功率的单位是 ________ ，视在功率的单位是 ________ ，复功率的单位是 ________ 。

8、欲使下图所示正弦交流电路的功率因素为0.707， 应等于 ________ 。

A. 0 B. 5Ω C. 20Ω D. 10Ω

9、无功功率的物理意义是 ________ 。

10、有功功率、无功功率、视在功率和复功率中守恒的是 ________ ，不守恒的是 ________ 。

11、在市电交流激励电路中，对于感性负载，提高电路功率因素的方法是 ________ 。

12、复功率的实部等于 ________ 。

A. 平均功率 B. 瞬时功率 C. 视在功率 D. 无功功率

13、电路如下，阻抗 的平均功率可以表示为 ，则其无功功率 ________ 。

14、已知正弦电源 f = 50 Hz， =220 V，P =10 kW， = 0.6，要使功率因数提高到 0.9，应并联多大的电容，求改进前后电路的总电流各为多大？

15、当负载从电源获得相同有功功率情况下，若系统功率因数偏低，以下 ________ 的描述是不正确的。

A. 电源设备不能充分利用 B. 增加输电线路的电能损失

C. 线路电压降增大 D. 不影响电网企业经济效益

16、如下图所示电路，若在 a、b 两端之间接一负载，那么该负载取何值时可以实现最大平均功率输出，此时负载是容性的还是感性的？负载上的最大平均功率为多少？（图中 120 V 是指电压源电压的有效值）

17、某阻抗 的负载与 的电流源相联，求电源提供给该负载的视在功率、有功功率、无功功率、功率因数和复功率。

18、试求下图中负载阻抗 为何值时获得的功率最大，并求出此最大功率（图中电流源输出电流标注的是有效值）。

19、下图所示正弦交流电路中，已知 ，求：

(1) 该电路的(复)阻抗 ，将该电路简化为两个元件串联，并求元件参数。

(2) 该单口网络的平均功率和功率因数。

20、系统提高功率因数后，对于负载来说理论上保持不变的参量是 ________ 。

A. 有功功率 B. 无功功率 C. 复功率 D. 视在功率

21、电路如图所示，求出获得最大功率的纯电阻 。

22、电路中 ，，，，。求 获得的最大功率。

23、下面电路中，分析 取何值时，可以获得最大功率，该最大功率是多少

24、某一负载上的电压为 V，电流为 A，试求(a)复功率和视在功率；(b)有功功率和无功功率；(c)功率因数和负载阻抗

25、某负载的无功功率为 140 kVAR，功率因数为0.85 lagging，求并联多大的电容，可以使功率因数校正到1。假设220V (rms)，60Hz供电。

26、求下图中 可以获得的最大功率

27、如下图所示电路，已知 ，，，，​。若在 a、b 两端之间接一负载，那么：

(1) 该负载取何值时可以实现最大平均功率输出？此时负载是容性的还是感性的？

(2) 负载上的最大平均功率为多少？

(3) 求负载消耗的视在功率、有功功率、无功功率、功率因数和复功率。

参考解答

1. C

2. 串或并 电容

3. 36W -144VAR

   

4. B

5. C

6. B

7. W W VAR VA VA

8. D (10 Ω 或 ∞)

9. 无功功率 Q > 0，表示网络吸收无功功率；Q < 0，表示网络发出无功功率。Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率，是由储能元件 L、C 的性质决定的。

10. 有功功率、无功功率、复功率 视在功率

11. 在电感性负载两端并联合适大小的电容

12. A

14. 解：

15. D

16. 解：

    (1) 求 a、b 两端的戴维南等效电路

    (2) 共轭匹配

    此时，为感性负载。

    (3) 当共轭匹配时，负载上有最大平均功率

    故而负载上的最大平均功率为

17. 解：

    ​

    ​ 视在功率

    ​ 有功功率

    ​ 无功功率

    ​ 功率因数

    ​ 复功率

18. 解：

    ​

    ​

    ​

    ​

19. 解：

    ​

    ​ 最简模型为 10 Ω 电阻与 2 H 电感串联。

    ​ 平均功率：

    ​ 功率因数： ，电感性

    

20. A

21. 解：

    对端口 ab 进行戴维南等效，得到：

    根据最大功率传输定理，获取最大功率的纯电阻 满足

22. 解：

    (1) 方法1：对除负载 外的电路做戴维南等效：

    ​ 记流经 的电流为 ，方向为由上至下；以底端节点作为参考节点。

    ​ 则电容右侧节点电压为 ，左侧节点为 ；流经 的电流为 ，方向从左至右。

    ​ 对左侧节点列 KCL 方程，有

    ​

    ​ 根据 ，得到增补方程：

    ​

    ​ 联立得到：

    ​

    ​ 故而

    ​ 方法2： 和构成开路，用分压计算

    (2) 电压源短路，在外施加一大小为 的电压，求等效电阻：

    ​ 以底端节点作为参考节点，则上方节点电压从左至右依次为为 ，。

    ​ 列节点电压方程

    ​

    ​

    ​ 其中，

    ​ 解得：，，

    ​

    ​ 得到：

    (3) 当 时，有最大功率

    ​

    ​

    ​

    ​ 故而负载上的最大平均功率为

    ​

23. 
24. 
25. 
26. 

27. 解：

    首先，求 a、b 两端的戴维南等效电路

    ​

    (1) 负载共轭匹配时，可以实现最大平均功率输出。

    ​

    ​ 此时，为感性负载。

    (2) 当共轭匹配时，负载上有最大平均功率

    ​

    ​

    ​

    ​ 故而负载上的最大平均功率为

    (3) 负载消耗的功率：

    ​

    ​

    ​ 复功率

    ​ 有功功率

    ​ 无功功率

    ​ 视在功率

    ​ 功率因数