电路分析的基本方法和定理

INFO

3. 电路分析的基本方法和定理（建议4学时）

3.1 电路分析基础（支路、节点、回路和网孔）

3.2 网孔电流法（包括不含受控源和含受控源的电路的分析）

3.3 节点电压法（包括不含受控源和含受控源的电路的分析）

3.4* 修正节点法

3.5 电路定理

3.5.1 叠加定理

3.5.2 替代定理

3.5.3 戴维南定理和诺顿定理

3.5.4 最大功率传递定理

TIP

网孔电流法
- 以个网孔电流为变量，对个网孔列KVL方程，求解线性方程组；
- 若含电流源，因电流源两端电压不能确定，故采用超级网孔避开电流源，再列线性方程求解；
节点电压法
- 以 n-1 个节点电压为变量，对 n-1 个节点列 n-1 个KCL方程，求解线性方程组；
- 若含电压源，因流过电压源的电流不能确定，故采用广义节点把电压源包含进来，再列线性方程组求解；
叠加定理（线性电路齐次性）
- 线性：齐次性、可加性
- 功率不可直接叠加
- 分别计算每个独立源的贡献（考虑一个独立源时，其他独立源均设为零/turn off），再线性叠加；适用于有多个独立源的线性电路
替代定理：保持接口电压或电流不变，用电压源或电流源替代
戴维南定理：开路电压 & 等效电阻
诺顿定理：短路电流 & 等效电阻
最大功率传递定理：
- 对于电阻网络，负载电阻 = 戴维南等效电阻
- 最大功率传输时，效率并不一定等于50%

习题及参考解答

知识点1：网孔电流法

CH03-KP1-01: 用网孔电流法求解下图所示电路中的三个网孔电流、和。

参考答案	; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-01.kicad_sch`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_01.m`

解析：

对三个 mesh 列 KVL 方程，其中 mesh 2 和 mesh 3 构成 supermesh：
计算得：

CH03-KP1-02: 回路电流法是根据 ________ 定律列出的；节点电压法是根据 ________ 定律列出的。

参考答案	KVL；KCL

解析：

对 loop 列 KVL；对节点列 KCL

CH03-KP1-03: 用网孔法求下图所示电路中支路电流。

参考答案	1.42 A
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-03.kicad_sch`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_03.m`

解析：

设回路电流、和，参考方向如图所示。
(1) 对三个 mesh 列 KVL 方程
(2) 将用 mesh 电流表示
可以解得：
故有

CH03-KP1-04: 用网孔电流法求解下图所示电路中的支路电流。

参考答案	1.19 A
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-04.kicad_sch`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_04.m`

解析：

设回路电流、和，参考方向如图所示。
列网孔电流方程如下：
解得：
故而

CH03-KP1-05: 用网孔电流法求下图所示电路中的电流和。

参考答案	;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-05.asc` 注：KiCAD 9.0 及之前的版本没有集成电流控制的受控源；电压源 V_1 的电压值设为 0 V，该电压源是用来获得控制电流的，具体见 LTspice 的帮助文件。
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_05.m`

解析：

设回路电流、和，参考方向如图所示。
用网孔分析法列出电路方程
将元件参数代入上述方程，得：
求解方程组，得：
故而

CH03-KP1-06: 用网孔电流法求如下图所示电路中的电压。

参考答案	4.5 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-06.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_06.m`

解析：

网孔电流都取顺时针方向，设受控电流源（电压控制电流源）的电压为，参考极性上正下负.
则根据网孔法有：
因受控电流源引入附加方程为
因受控源控制量引入的附加方程为
联立解得：因此，

CH01-KP1-07: 使用网孔电流法求解下图中、、。

参考答案	; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-07.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_07.m`

解析：

考虑到独立电流源的存在，将和所在的网孔并作一个看待。
列网孔电流方程如下：
增补方程
联立解得：

CH03-KP1-08: 列出图示电路的网孔电流方程,并求。

参考答案	0.49 A
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-08.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_08.m`

解析：

设左、右、上方的三个网孔的电流依次为、、，方向为顺时针。
列网孔电流方程如下
其中，
解得：

CH03-KP1-09: 用网孔电流法，求

参考答案
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-09.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_09.m`

解析：

CH03-KP1-10: 求图中的三个网孔电流

参考答案	; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-10.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_10.m`

解析：

CH03-KP1-11: 用网孔电流法，求下图中的

参考答案
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-11.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_11.m`

解析：

CH03-KP1-12: 用网孔电流法求下图所示电路中的支路电流。

参考答案	; ; ; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-12.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_12.m`

解析：

去掉受控电流源，构成 supermesh：

(supermesh)

解得：；；
；；
；

CH03-KP1-13: 用网孔电流法求下图所示电路中流过电阻R的电流 I。

参考答案	2.45 mA
SPICE模型	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP1-13.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP1_13.m`

解析：

将受控电流源转换为受控电压源（注意下图中电压源为中文教材符号体系，与英文教材不同）。设从左到右3个网孔的电流分别为、、，电流参考方向均为顺时针方向。
右侧两个 mesh 构成 supermesh，列方程
得

知识点2：节点电压法

CH03-KP2-01: 用节点电压法求下图所示电路中的电压 U 。

参考答案	32 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-01.asc`

解析：

标记结点 ④ 为最下方结点

CH03-KP2-02: 用节点电压法求解下图中的电流及电压。

参考答案	; ; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-02.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_02.m`

解析：

列节点电压方程如下：
增补方程
解得：

CH03-KP2-03: 求以下无源单口网络的输入电阻。已知 = = = = = 3Ω， = 1Ω。

参考答案	1.5 Ω
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-03.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_03.m`

解析：

方法1：
选取参考地，并对图中的节点电压进行标记如下：
列节点电压方程如下：
为简化计算过程，可取
计算得到：
故而输入电阻
方法2：
左边电路用Y- 化简，等效为 3 Ω 电阻（比如 R1、R2、R5 的 Y 网络转换为阻值 9 Ω 的网络，再进一步串并联化简，可得到R1～R5 5个电阻的网络可化简为等效电阻 3 Ω）；右边电路令 , 电压 = 3 V，即右边等效为 3 Ω，故整体等效电阻为 1.5 Ω。

CH03-KP2-04、使用节点电压法求解下图中的、和。

参考答案	; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-04.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_04.m`

解析：

把上方三个元件看成一个 supernode，
列节点电压方程如下：
解得：

CH03-KP2-05: 列写图示电路的节点电压方程。

解：
标记节点①~④如下图所示：
列节点电压方程如下：
增补方程

CH03-KP2-06: 用节点电压法分析如下电路，列出足够求解的方程。

解：
列三个节点方程如下：
另需要一个补充方程

CH03-KP2-07: 用节点电压法求下图所示电路的节点电压 $、、和$ 。

参考答案	; ; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-07.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_07.m`

解析：

方法1：
设受控电压源流出的电流为
解得：
方法2：
把 a、c 看成一个 supernode，
$对点另外$
解得：

CH03-KP2-08: 用节点电压法求解下图所示电路中的支路电流。

参考答案	0.079 A
SPICE模型	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-08.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_08.m`

解析：

令中间节点电压为V，受控源构成 supernode，
解得：

CH03-KP2-09: 用节点电压法求以下电路中各节点的电压。

参考答案	令下方节点为参考地，则上方四个节点从左到右电压分别为 16.3 V、、 1.23 V、0.31 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-09.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_09.m`

解析：

10 A 电流源左右节点电压分别记为和，最下方节点记为参考地，则有
整理后，得到：
解得：

CH03-KP2-10: 用节点电压法求下图所示电路中电流源两端的电压 v 。

参考答案	19.6 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-10.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_10.m`

解析：

以底端节点作为参考节点，上端三个节点的节点电压分别为、和。
因为与第一个节点相连接的 3 Ω 为多余电阻，则有：
因受控源引入的附加方程为：
解得：得：

CH03-KP2-11: 列出图示电路的节点电压方程，并求。

参考答案	0.49 A
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-11.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_11.m`

解析：

考虑到独立电压源的存在，将独立电压源及上方节点看做一个。记上、下方电压分别为和。
以底端节点为参考节点，右侧的两个节点分别标记为和。
列节点电压方程如下：
增补方程，
联立解得：
，，，，

CH03-KP2-12: 用节点电压法，求节点1、2、3的电压值

参考答案	; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-12.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_12.m`

解析：

CH03-KP2-13: 用节点电压法，求下图中的

参考答案	30 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-13.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_13.m`

解析：

10 V 电压源构成 supernode，中间三个节点分别记为 1、2、3，列方程如下：
求得 V

CH03-KP2-14: 用节点电压法，求下图中的

参考答案	1.11 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-14.asc`

解析：

CH03-KP2-15: 求下图所示电路的节点电压，，。

参考答案	; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-15.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_15.m`

解析：

so
so
so
解得：；；

CH03-KP2-16: 用节点电压法求下图所示电路的节点1、2、3和4的电压、、和。

参考答案	; ; ;
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP2-16.asc`
Math	数学计算文件见 Github `math/ch03/CH03_KP2_16.m`

解析：

受控电压源构成 supernode，列方程：
解得：; ; ;

知识点3：叠加定理

CH03-KP3-01: 线性电路中，无法直接用叠加定理求解的物理量为 ________ 。

A. 功率

B. 电压

C. 电流

参考答案	A

解析：

功率是电压或电流的平方项关系，不符合线性性质

CH03-KP3-02: 右图所示电路中，电压U为 ________ 。

A. 4V

B. 5V

C. 6V

D. 3V

参考答案	C
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP3-02.asc`

解析：

只考虑 6 V 时，电流源开路，U = 1 V；只考虑 6 A 时，5 ohm 和 1 ohm 并联，等效为 5/6 ohm，U 为 5 V，故总的 U 为 1+5 = 6 V

CH03-KP3-03: 叠加定理仅适用于 ________ 电路；在各分电路中，要把不作用的独立电源置零。不作用的独立电压源用 ________ 代替，不作用的独立电流源用 ________ 代替。

参考答案	线性；短路；开路

解析：

turn off 对于独立电压源而言是短路（设电压 = 0），对于独立电流源而言是开路（设电流 = 0）

CH03-KP3-04: 叠加定理适用于 ________ 。

A. 线性电路

B. 非线性电路

C. 线性或非线性电路

D. 无受控源的电路

参考答案	A

解析：

叠加性的前提是线性

CH03-KP3-05: 使用叠加原理计算下图所示电路中的电流。

参考答案
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP3-05.asc`

解析：

(1) 保留 8 V 的电压源，turn off 2 A 的电流源和 6 V 的电压源

(2) 保留 6 V 的电压源，turn off 2 A 的电流源和 8 V 的电压源

(3) 保留 2 A 的电流源，turn off 6 V 的电压源和 8 V 的电压源

故，

CH03-KP3-06: 用叠加定理求下图所示电路中电流源两端的电压 U。

参考答案	8.4 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP3-06.asc`

解析：

(1) 保留 2 A 的电流源，turn off 30 V 的电压源

(2) 保留 30 V 的电压源，turn off 2 A 的电流源

故，

CH03-KP3-07: 用叠加定理，求下图中的

参考答案	8 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP3-07.asc`

解析：

CH03-KP3-08: 采用电源变换和叠加原理，求下列电路中的

参考答案	1.78 A
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP3-08.asc`

解析：

CH03-KP3-09: 如下图所示电路，求：

(1) 电压 V；

(2) 电压源和受控源上的功率。

参考答案	(1) 3 V； (2) 电压源提供功率 100 W，受控源消耗功率 72 W
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP3-09.asc`

解析：

(1) 受控源并联在电压源两端，不会对电路产生影响，可以忽略。使用叠加定理计算电压V：
当电流源开路，电压为两个 6 欧电阻分压，6 V;
当电压源短路，电路如下，电压为 1 A 电流源流过两个 6 欧电阻并联，;
故 V = 6 – 3 = 3 V
(2) 受控源上的电流是 6 A，电压（对于电流源，电流指向端为电压正端），故消耗功率 72 W。
左上 6 欧电阻的电流是 3/6+1 = 1.5 A，
设通过右上10欧电阻的电流是 i，参考方向向下，则
10i+2(i+1)=12，得
i = 5/6 A，
故电压源出来的电流是 6+1.5+5/6 = 25/3 A，
输出功率

知识点4：戴维南定理

CH03-KP4-01: 用戴维南定理求。

2-7-1

参考答案	2.5 V
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP4-01.asc`

解析：

(1) 求开路电压：a、b 开路，
(2) turn off 独立源，求：
方法一：加压求流法
得到：
故而
方法二：端口电流，端口电压 = ，所以戴维南电阻为 1.5 kΩ
(3) 等效电路：
将代入右侧的等效电路图中，
得到：

CH03-KP4-02: 下图所示电路的戴维南等效电路是 ________ 。

A. 2-7-2-A

B. 2-7-2-B

C. 2-7-2-C

D. 2-7-2-D

参考答案	A

解析：

等效电阻：电压源短路，电流源开路，所以是 5 ohm；开路电压：利用叠加定理，先考虑 2 V，得到 2 V，再考虑电流源 0.5 A，得到 -2 V，再考虑 1A，得到5V，所以总计2-2+5 = 5V；故为 A

CH03-KP4-03:将下图 (a) 电路等效为图 (b) 电路，可求得输出端短路电流 = ________ 。

参考答案

解析：

方法一：
开路电压：记中间节点为 1，列节点电压方程：，得到；，得到
，
等效电阻：，得到
，
故，短路电流为
方法二：
输出短路，及 V=0，所以受控源开路，所求电流为 2 Ω 上的分流电流，而总电流为 1 A，所以输出短路电流为。

CH03-KP4-04: 求下图所示电路的戴维南等效电路。

解析：

(1) 首先求开路电压。采用节点分析法来求解。
解得：
(2) 然后求等效电阻
在端口施加一电压，独立电压源短路，与受控电流源串联的电阻可以视为短路，得到：
则

因此，原电路的戴维南等效电路如下所示：

CH03-KP4-05: 如下图所示电路，当时，求电流。

参考答案	0.25 A
SPICE仿真	仿真文件见 Github `spice/ch03/CH03-KP4-05.asc`

解析：

求出所在支路之外电路的戴维南等效电路。
等效电路：

CH03-KP4-06: 求下图所示单口网络的戴维南等效电路。

解析：

(1) 先求开路电压：
根据节点法有：
解得：
(2) 再求戴维南等效电阻：
(3) 等效电路图如下：

CH03-KP4-07: 求如图所示电路的戴维南等效电路。

解析：

(1) 求开路电压
规定顺时针为电流正方向，则根据 KCL 流经 5 Ω 的电流为，流经 1 Ω 的电流为，则有

解得：

(2) 求等效电阻
在端口施加一电压，独立电压源短路。
规定顺时针为电流正方向，则根据 KCL 流经 5 Ω 的电流为，流经 1 Ω 的电流为，得到：

获得，则

(3) 画出戴维南等效电路

CH03-KP4-08: 求下图中，ab 端所见的戴维南等效电路

解析：

CH03-KP4-09: 计算并画出下图所示电路的戴维南等效电路。

解析：

(1) 首先，根据变换关系，且为了方便计算，将10 ohm 转化为 10/3 ohm，再与 5 ohm 并联，得到：；整理得到变换后的电路图如下所示：
(2) 求开路电压。
由流经的电流为，可以得到节点2电压为；
因此，流经、的电流为；
流经的电流为；方向由左至右；
节点1处由 KCL 可得，流经的电流为，方向由左至右。
列网孔电流方程有：
，代入解得：
开路电压。
(3) 求等效电阻。
在端口施加一电压，独立电压源短路。
则，；
，方向由上至下；
，方向由右至左；
，方向由右至左；
，方向由右至左；
根据代入得到：

解得：
因此，，
(4) 画出戴维南等效电路如下