动态电路的时域分析

INFO

4. 动态电路的时域分析（建议4学时）

4.1 一阶电路的响应

4.1.1 一阶电路的零输入响应

4.1.2 一阶电路的零状态响应

4.1.3 一阶电路的全响应

4.1.4 一阶电路的三要素法

4.2 二阶电路的响应

4.2.1 二阶电路的零输入响应

4.2.2 二阶电路的零状态响应

4.2.3 二阶电路的全响应

4.3 一阶电路和二阶电路的阶跃响应

4.3.1 一阶电路的阶跃响应

4.3.2 二阶电路的阶跃响应

4.4 一阶电路和二阶电路的冲激响应

4.4.1 一阶电路的冲激响应

4.4.2 二阶电路的冲激响应

TIP

动态电路和过渡过程的概念：
- 电感、电容的“电压电流约束关系”与时间 t 有关，所以电感、电容又称为动态元件，含电感、电容的电路也被称为动态电路；
- 动态电路的一个特征是：当电路结构发生变化时（一般通过“开关”的切换来实现），可能使电路从原来的工作状态，转变到一个新的工作状态，这种转变往往需要一定的时间，这一过程被称为动态电路的过渡过程；
- 开关切换的动作也被称为“换路”，一般认为换路是在时刻进行的，把换路前的最终时刻记为，把换路后的最初时刻记为 ;
- 分析动态电路的方法：根据KCL、KVL、元件的电压电流约束关系，写出微分方程，并求解；这一方法在时域中进行，称为经典解法；
一阶电路的响应、二阶电路的响应；
- 一阶电路：化简后的电路仅含一个储能元件
- 解一阶微分方程需要知道变量初始值
- 时刻的电路状态由时刻的电路状态获得，且基于
  - 电感电流不能突变
  - 电容电压不能突变
- 一阶电路的衰减常数：, 或
零输入响应、零状态响应、全响应及其分解方式、三要素法分析；
- 输入指时刻，电路中有无电源；状态指时刻，电路中的储能元件有无初始储能
- 零输入响应：无外加激励电源（零输入），仅由动态元件初始储能所产生的响应
- 零状态响应：动态元件初始储能为零（零状态），由外加激励电源引起的响应
- 实际情况往往是时刻电源和初始储能都有的，即全响应
- 三要素法：初始值、稳态值、时间常数；初始与稳态的差值随时间常数的指数衰减，所以
二阶电路的响应
- 二阶电路：化简后的电路含两个储能元件
- 解二阶微分方程需要知道变量初始值，以及变量导数的初始值
- focus on 不能突变的量，即电感电流、电容电压，寻找变量初始值；变量导数的初始值由元件的外围电路决定
  - 如电感，求电流导数的初始值，因，需经由电感两端电压初始值获得
  - 如电容，求电压导数的初始值，因，需经由流经电容电流初始值获得
- 求解二阶微分方程，即获得二阶电路的解
  - step 1: 求变量及变量导数的初始值
  - step 2: 求微分方程的特解，即变量的稳态响应
  - step 3: 时刻，turn off 独立源，求齐次微分方程的通解，即变量的瞬态响应
  - step 4: 写出非齐次微分方程的通解，即稳态响应和瞬态响应相加
  - step 5: 结合初始条件，求待定系数
- 对于串联 RLC、并联 RLC 这两种特殊的二阶电路，可根据衰减常数和谐振频率直接写出解的表达式
  - 衰减常数，对于串联 RLC，；对于并联 RLC，
  - 谐振频率，
  - 典型的二阶电路有过阻尼（）、临界阻尼（）、欠阻尼（）三个 cases；临界阻尼衰减最快；以下以电容电压为例
  - 选取电感电流还是电容电压作为变量？都可以。有激励时，取激励的量比较方便（即稳态时容易获得的是电压量还是电流量）；无激励时，并联取电压比较方便，串联取电流比较方便
阶跃响应、冲激响应。
- 单位斜坡函数是单位阶跃函数的积分
- 单位冲激函数是单位阶跃函数的导数
- 一阶电路：单位冲激响应可当作电容两端初始电压为1/C （或流经电感的初始电流为1/L）的零输入响应来处理；
- 二阶电路：冲激响应可以按阶跃激励的一阶导数求得

习题及参考解答

知识点1：一阶电路的响应

1、已知电感无初始储能，开关和处于打开状态。t = 0 时开关闭合，t = 0.2s 时开关闭合，分别求两次换路后的电感电流。

解：

2、图示电路中开关断开时的电容电压等于 ________ 。

A. 2 V

B. 3 V

C. 4 V

D. 0 V

B, 时刻电压根据电阻分压，2ohm上的电压为1V，再加上2V的电压源，所以总电压为3V

3、如下图所示电路，开关 K 原长时间停留在位置 1，t = 0时转换到位置 2，求和。

解：
开关在位置 1 时，可解得：

时转换到位置 2 后，从电容两端看进去的等效电阻为

因此，可得：

4、求下左图所示电路中电流，独立电压源的伏安特性曲线见下右图。

4-1-4-1 4-1-4-2

解：
对左侧电路进行戴维南等效，化简电路图如下所示：
该电路的单位阶跃响应为
由齐次性和叠加性得实际响应为：
另外，也可以分段表示结果：

5、某 RL 一阶电路的全响应为，若初始状态不变，而输入电源幅度增加一倍，则全响应变为 ________ 。

C。 和时间常数不变，加倍，写成三要素表示形式，可获得结果

6、如下图所示电路，开关闭合时电路已进入稳态，在 t = 0 时刻开关打开，求 t > 0 时电流的表达式。

解：

7、如下图所示电路，在 t = 0 时刻前，开关 S 在位置 1 时电路已达到稳定状态，t = 0 时开关由位置 1 向位置 2闭合，求 t ≥ 0 时的电压。

解：
开关在 1 位置时，。
时刻之后，将电感以外电路进行戴维南等效，求得： $，$
时间常数为
边界条件为
应用三要素法，得到：

8、在下图所示电路中，电路换路前电容未储能，当 t = 0 时开关 S 闭合，求开关闭合后的和。

解：
由题意可知，其为零状态响应，。

外施电源法（端口电压，端口电流）求等效电阻：

因此，

9、下图所示电路中，时刻已经处于稳定状态，开关于时闭合，则时流过电感的电流为 ________ A。

，初始电流0A，稳态电流5A，时间常数L/R=0.5

10、下图所示电路中，换路前电路已处于稳态，开关闭合后，支路电流 ________ 。

, 时刻，电感电流4A；稳态时，电流4A+6A=10A；时间常数L/R = 1/(3||6) = 0.5

11、电路如图所示，开关已长时间处于 A 位置，t = 0 时刻转向 B 位置，求 t ≥ 0 时的。

解：
开关在位置 A 时，可解得：

时转换到位置 B 后，从电容两端看进去的等效电阻为

电路稳定后，有
因此，可得：

12、如图所示，若电感的初始电流，求时刻的和。

解：
初始条件
边界条件
对除了电感外的部分电路外施加电压求等效电阻：

不妨取，得：

因此，

13、在下图中时刻，S1、S2 开关是开启的；开始，S1 开关关闭，但是 S2 开关在时关闭，请计算通过电感的电流（可分段表示）。

解：
(1) 0 < t < 2 s 时

，0 < t < 2
代入边界条件，解得：

(2) t ≥ 2 s 时

14、下图中，开关在时刻断开，求时的和时刻电容的储能

15、下图中，开关在时刻闭合，求时的，并计算时刻的值

16、下图中，开关在时刻闭合，求全时刻的和

17、下图中， A，求

A

18、下图中， V，求和

19、下图中， V，求

20、下图中， V，求和

21、下图中，求时刻的

22、如下图所示电路，已知当时，，；若时，改为 10 V，其他初始条件不变，求时的表达式。

由三要素法，当时，，，，
因为是线性系统，驱动电压增大一倍，所以
，
保持不变，
保持不变，
所以

知识点2：二阶电路的响应

1、如下图所示电路，开关已长时间处于A位置，t = 0 时刻转向B位置。求 t＞0 时的和。

2、如图所示电路中，已知 = 5 Ω， = 1 Ω，L = 1 H，C = 0.25 F，V = 24 V。t = 0时开关断开。求 t > 0 时的和。

3、如图所示电路，开关置于 a 已经很久，在 t = 0 时开关打至b，求电流。

解：
(1)在时，
(2)当时，可以将 RLC 电路简化如下：
因为，所以为临界阻尼响应。故有：

4、如下图所示电路，开关闭合时电路处于稳态，在 t = 0 时开关打开，求 t > 0 时的。

解：
(1) ，

(2) 求解 natural response

将(1)中的边界条件代入上式，得到：

5、如下图所示电路，在 t = 0 时刻前，开关在位置 1 时电路已达到稳定状态，t = 0 时开关由位置 1 合向位置 2 ，求 t > 0 时，流过电感的电流。

解：
根据诺顿等效转换为二阶并联RLC电路，。
列出方程
可得：
初始条件，

解得：

6、下图所示电路中，电容原先已经充电，。试求：

开关闭合后的和

解：

代入R、L、C值，计算得到特征根

初始条件

代入初始条件，求解得到

7、如下图所示电路，当 t = 0 时刻打开开关，求电流的响应。

解：
电流的响应方程为：

特征根为：

由稳态模型有：

将边界条件

其中，
代入得到：

故而

8、下图中，开关在时刻从切换到，求时刻的

9、下图中，求时刻的

10、下图中，求时刻的和

11、下图中，求时刻的和

12、如下图所示电路，电容初始储能为0，在时开关 S1 开路，时刻，开关 S2 转接到另一端，求和时电容两端电压。

解：
(1) 时

，，

(2)

，

，
，

13、如下图所示电路，在 t = 0 s 时开关S闭合。计算：

（1）开关闭合前、后达到稳态时电感和电容中的储能。

（2）列出 t > 0 时的电路微分方程，并求解图中标识的参量 v、i 的时域表达式。

（3）欲使 t > 0 时电路处于临界阻尼状态，电阻的阻值应如何调整。

(1)
(2) 列微分方程：
（3）欲使电路 t > 0时处于临界阻尼状态，

知识点3：阶跃响应与冲激响应

1、如下图所示电路，已知两个电容的初始电压均为 0，求 t > 0 时 vo 的表达式，其中 u(t) 为单位阶跃函数。

解：
turn off 电压源，求齐次方程的通解
将代入 (1) 式中，得：
将代入上式，得到：
流过的电流
故

知识点4：其他

1、换路是指电路的结构与参数突然改变，或激励的突然变化。换路时，电路服从的规则称为换路定则。换路定则1：如果流经电容的电流为有限值，那么电容上的 ________ 在换路瞬间不会突变。换路定则2：当电感电压为有限值时，电感中 ________ 在换路瞬间不会突变。

电压
电流
根据电容电感的电压电流约束关系，导数不可为无穷大，故而电容电压不能突变，电感电流不能突变

2、电路时域全响应可分解为零输入响应与零状态响应的组合，零输入响应是指当电路没有 ________ 信号时的激励响应；零状态响应是指电路无 ________ 时，电路的响应仅由外加信号的激励响应。

外加
初始储能
输入指外加输入激励；状态指动态元件LC的储能状态

动态电路的时域分析 ​

习题及参考解答 ​

知识点1： 一阶电路的响应 ​

知识点2：二阶电路的响应 ​

知识点3：阶跃响应与冲激响应 ​

知识点4：其他 ​