Fundamentals of Electronic Circuits

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电路的等效变换 ​

INFO

2. 电路的等效变换（建议4学时）

2.1 电路等效

2.2 基尔霍夫电路定律

2.3 电阻电路的等效变换

​ 2.3.1 电阻的串联和并联

​ 2.3.2 电阻的混联和Y-∆等效变换

2.4 储能元件电路的等效变换

​ 2.4.1 电容的串联和并联

​ 2.4.2 电感的串联和并联

2.5 电源电路的等效变换

​ 2.5.1 电压源的串联和并联

​ 2.5.2 电流源的串联和并联

TIP

  1. 电路等效概念：接口处电压、电流保持不变；

  2. 电路等效计算，即输入电阻/等效电阻计算（针对一端口网络）

    • 若仅含电阻，等效化简即可；

    • 若含受控源，但不含独立源，施加电压求电流，或者施加电流求电压；

    • 若含独立源，则先将其 turn off（电压源短路，电流源开路），再计算；

  3. KCL的两种表述

    • 流入任一节点（或闭合界面）的支路电流的代数和为0；电荷守恒；
    • 对于任一节点，流入电流总和 = 流出电流总和；

  4. KVL的两种表述

    • 沿任一回路，所有支路电压的代数和为0；能量守恒；
    • 两节点间若有多条路径，则每条路径上的电压降相等（电压与路径无关）；

  5. 电阻电路的分析

    • 串联分压，总电阻为各电阻之和；并联分流，总电导为各电导之和；
    • Weatstone电桥：平衡时电阻成比例，流过电流计电流为零；

  6. 电容电感串并联

    • 电感类似于电阻，串联则电感值相加，并联则电感值的倒数相加；

    • 电容并联则电容值相加，类似于电阻串联；电容串联则电容值倒数相加，类似于电阻并联

  7. Y-Δ等效变换

    • to Y:

    • Y to :

    • 阻值比较大，更像并联；Y 阻值比较小，更像串联；当阻值相等时，

  8. 电源变换。”电压源串联电阻“ 等价于 ”电流源并联电阻“

习题及参考解答 ​

知识点1： 电路等效及相关计算 ​

CH02-KP1-01: 右图所示电路的等效电阻为 ________ 。

2-1-1

A. 4 Ω

B. 1 Ω

C. ﹣2 Ω

D. 2 Ω

参考答案C

解析：

根据 KCL，从上往下流过下面 2 ohm 电阻的电流为 ，据此，可写出端口电压为 ；等效电阻为端口电压除以端口电流，故为 。

CH02-KP1-02: 右图所示电路的等效电阻 = ________ 。

2-1-2
参考答案

解析：

，。

CH02-KP1-03: 理想电压源和理想电流源串联，其等效电路为 ________ 。

参考答案电流源

解析：

与理想电压源并联的元件无效（因为其电压仍由理想电压源决定）；与理想电流源串联的元件无效（因其电流仍由理想电流源决定）；题中为串联，故等效电路为电流源。

CH02-KP1-04: 右图的等效电容为 ________ 。

2-1-4
参考答案8 F

解析：

电容并联相当于电阻串联；电容串联相当于电阻并联；所以，4 F || 2 F = 6 F, 6 F 串联 6 F = 3 F， 3 F || 5 F = 8 F

CH02-KP1-05: 右图所示电路的等效电路为 ________ 。

2-1-5-0

A. 2-1-5-A

B. 2-1-5-B

C. 2-1-5-C

D. 2-1-5-D

参考答案A

解析：

与理想电压源并联的电阻无效，故第一步简化为理想电压源和理想电流源串联；与理想电流源串联的元件无效，故第二步简化为单个的理想电流源，所以答案为 A。

CH02-KP1-06: 下图所示电路 ab 端的等效电阻 等于 ________ 。

2-1-6

A. 10 Ω

B. 9.5 Ω

C. 9 Ω

D. 8.5 Ω

参考答案B

解析：

右上方的 3 ohm 和 6 ohm 并联，等效为 2 ohm；下方的两个 6 ohm 并联，等效为 3 ohm；2 ohm 和 3 ohm 串联再和 5 ohm 并联，等效为 2.5 ohm，再和 7 ohm 串联，等效为 9.5 ohm。

CH02-KP1-07: 下图所示电路的端口等效电阻等于 ________ Ω。

2-1-7
参考答案

解析：

10 ohm上的电压降为 ，故电流从上往下为 ，20 ohm 电流从上往下为 ，所以端口电流为 ，等效电阻为端口电压除以端口电流 = 。

CH02-KP1-08: 求下图的等效电容

image-20221016172214833
参考答案

解析：

image-20221016172229472

CH02-KP1-09: 求下图的等效电容，图中电容值的单位为 mF。

image-20221016172311777
参考答案4 mF

解析：

image-20221016172339053image-20221016172356740

CH02-KP1-10: 求下图的等效电感

image-20221016172448288
参考答案15 H

解析：

image-20221016172511829

CH02-KP1-11: 右图所示电路的端口等效电阻 等于_________。

image-20250225195556017
参考答案

解析：

右上角 4 ohm 和 2 ohm 串联等效为 6 ohm； 再与 3 ohm 并联，等效为2 ohm；再与 2 ohm 串联，等效为 4 ohm； 再与 4 ohm 并联，等效为 2 ohm；最后再与 1 ohm 串联，等效为 3 ohm。

知识点2：基尔霍夫定律 ​

CH02-KP2-01: 基尔霍夫电压定律和电流定律的本质分别是 ________ 。

A. 电荷守恒和能量守恒

B. 电荷守恒和电荷守恒

C. 能量守恒和能量守恒

D. 能量守恒和电荷守恒

参考答案D

解析：

KVL 的本质是能量守恒，因为电压的本意是移动单位电荷所需做的功；KCL 的本质是电荷守恒，因为电流的本意是单位时间内流过某一截面（或某一节点）的电荷量。

CH02-KP2-02: 基尔霍夫电流定律（KCL）是电流连续性的表现，其本质是 ________ ，基尔霍夫电压定律（KVL）本质是 ________ 。

参考答案电荷守恒；能量守恒

解析：

同 CH02-KP2-01

CH02-KP2-03: 下图中的电流 是 ________ 。

1-3-3

A. 4 A

B. 16 A

C.

D. ​

参考答案C

解析：

流入电流（2+4）= 流出电流（10+)，所以

CH02-KP2-04: 分析电路，求和​

image-20221014135801895
参考答案;

解析：

从左下角开始，顺时针写 KVL 方程，约定遇到元件的 "" 端电压项为正；参考电流为顺时针方向。则：

image-20221014135844517

CH02-KP2-05: 分析电路，求,

image-20221014135945373
参考答案;

解析：

image-20221014140014802

CH02-KP2-06: 分析电路，求图中标示的所有电压电流

image-20221014140114854
参考答案; ; ; ; ;
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP2-06.kicad_sch
image-20250225201752379
Math数学计算文件见 Github math/ch02/CH02_KP2_06.m

解析：

image-20221014140152713

CH02-KP2-07: 求下图中的 和

image-20221016164210540
参考答案;
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP2-07.kicad_sch
image-20250225203055364

解析：

image-20221016164301843

CH02-KP2-08: 求下图中的 和

image-20221016164432832
参考答案;

解析：

image-20221016164459807

知识点3：电阻电路的分析 ​

CH02-KP3-01: 下图中，电流 为 ________ 。

2-2-1
参考答案

解析：

列 KVL 方程，

CH02-KP3-02: 计算下图中的 值为 ________ 。

2-2-2
参考答案3.2 V
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-02.kicad_sch
image-20250226145202465

解析：

设左边节点电压为 va，对其用 KCL 方程，则，va/4 + 3 + (va-vo)/2 = 0; 对中间这个节点也用KCL，则 (va-vo)/2 = vo/8 + (vo-12)/3；联立两个方程，可求出 v0 = 48/15 = 3.2 V

CH02-KP3-03: 下图所示电路中，电压 U 为 ________ 。

2-2-3

A. 4V

B. 5V

C. 6V

D. 3V

参考答案C
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-03.kicad_sch
image-20250226145925583

解析：

对右边中间节点列 KCL，则 (6-U)/5 + 6 = U/1，解得 U= 6 V

CH02-KP3-04: 下图中受控电流源的转移电导 ，则 20 kΩ 电阻两端的电压为________。

2-2-4
参考答案2 V
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-04.kicad_sch
image-20250227150828909

解析：

, ，两个电阻分流，20 kohm上流过的电流为0.1 mA，故其两端电压为 2 V。

CH02-KP3-05: Wheatstone 电桥广泛应用于电阻测量，已知待测电阻 的阻值范围为 0 ～ 10 Ω，某同学设计了如下电路，其中 G 是电流计，问：

(a) 该同学的设计思路是什么（即如何实现电阻测量）？

(b) 和 应如何选取？

2-2-5
参考答案(a) 调节 50 Ω 变阻器，当电桥平衡（电流计电流为0）时，通过比值关系获得待测电阻 的阻值；(b)（0～50 Ω）和（0～10Ω）的比值为5:1，所以 : 应为 5:1，可选取 100 Ω、20 Ω。

解析：

略

CH02-KP3-06: 求下图所示电路中电流 和 ，并计算各电源的功率，同时判断该电源是吸收还是发出功率。

2-2-6
参考答案; ; 18 V 电源计算功率 , 为发出功率；20 V 电源计算功率 ，为发出功率；2 A 电源计算功率 ，为发出功率 。
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-06.kicad_sch
image-20250226193629811
Math数学计算文件见 Github math/ch02/CH02_KP3_06.m

解析：

方法一：

根据各电流量之间的关系、18 V 和 20 V 电压源在负载上的电压降关系，以及左侧大回路的回路电压降关系，列方程组如下：

解得：

image-20220830084233037

20 V 电压源的功率为： ，发出功率

2 A 电流源的功率为： ，发出功率

18 V 电压源的功率为： ，发出功率

方法二：

(1) 等效电路

image-20220830074153522

得：

20 V 电压源的功率为 ，发出功率

(2) 等效电路

image-20220830074219059

​ 得：

​ 原电路

​ 2 A 电流源的功率为 ，发出功率

​ (3) 18 V 电压源的功率为

​

​

​

​ ，发出功率

CH02-KP3-07: 欲使下图所示电路中的支路电流 = 1 A，试求电流源的输出电流 。

2-2-7
参考答案5 A
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-07.kicad_sch
image-20250226194328295

解析：

CH02-KP3-08: 如下图所示电路，支路电流 的值为 ________ 。

2-2-8
参考答案3 A
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-08.kicad_sch
image-20250226195239701

解析：

上方两个电阻分流，流过 2 ohm 的电流为 9 A；下方两个电阻分流，流过左边 3 ohm 的电流为 6 A，所以 I=3A

CH02-KP3-09: 利用如下图所示的惠斯登电桥可以较为精确地测量中等阻值的电阻，其中 ，调节可调电阻 使电流表的指示为零，此时称电桥处于平衡状态， ，则被测电阻 的阻值为 ________ 。

2-2-9
参考答案

解析：

电桥平衡时，电阻呈比例，R1:R3 = 1:1 = R2:Rx, 所以 Rx=4ohm

CH02-KP3-10: 下图所示电路中，电流 的值为 ________ 。

2-2-10
参考答案
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-10.kicad_sch
image-20250226200010443

解析：

与电流源串联的电阻不改变电流值；与电压源并联的电阻不改变电压值。设中间节点电压为 vx，对最上方节点列 KCL: 5 = (vx + 30)/3 + vx/6 + (vx + 30)/16, 可解出 vx=-110/9 V，进一步计算出 I= (30-110/9)16 =10/9 A

CH02-KP3-11: 根据图中的参数，计算 。

2-2-11
参考答案48 V
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP3-11.kicad_sch
image-20250227152822949

解析：

列方程组如下

CH02-KP3-12: 下图所示的电路中的 ，，求：

(1) 电流源的输出电流 ；

(2) 30 Ω 电阻上消耗的功率；

(3) 100 V 电压源提供的功率。

image-20221108121633988
参考答案(1) ； (2) 270 W; (3) 400 W

解析：

(1)

image-20221108121801834

​ ；

​ ；

​

​

​

(2)

(3) 按关联参考方向，，所以电源吸收功率 400 W。

知识点4：Y- 等效变换 ​

CH02-KP4-01: 已知电路中 形电路中三个电阻均为 120Ω ，那么转换后的 Y 形电路中的三个电阻分别为 ____ 。

A. 40 Ω、40 Ω、40 Ω

B. 360 Ω、360 Ω、360 Ω

C. 120 Ω、120 Ω、120 Ω

D. 360 Ω、360 Ω、40 Ω

参考答案A

解析：

阻值相等时，delta 电阻是 Y 电阻的三倍，所以为 40 ohm

CH02-KP4-02: 求下图电路的等效电阻 。

2-3-2
参考答案15 Ω

解析：

image-20220830085556223

CH02-KP4-03: 求下图所示电路中的支路电流 。

2-3-3
参考答案; ;
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP4-03.kicad_sch
image-20250227154337549
Math数学计算文件见 Github math/ch02/CH02_KP4_03.m

解析：

首先 变换为 ； 与 并联得到 ；在 转换得到 。

通过叠加定理或者网孔电流法可计算得到：

image-20220830092323304

CH02-KP4-04: 分析电路，求,

image-20221014140506033
参考答案;
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP4-04.kicad_sch
image-20250227155458937

解析：

image-20221014140611621

CH02-KP4-05: 已知 Δ 形电路中三个电阻均为 60 Ω ，那么转换后的 Y 形电路中的三个电阻分别为_________。

A. 60 Ω、60 Ω、60 Ω

B. 180 Ω、180 Ω、180 Ω

C. 20 Ω、20 Ω、20 Ω

D. 180 Ω、180 Ω、20 Ω

参考答案C

解析：

阻值相等时，delta 电阻是 Y 电阻的三倍

知识点5：储能电路分析 ​

CH02-KP5-01: 求下图中每个电容两端的电压

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参考答案; ; ;
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP5-01.kicad_sch
image-20250227160123806

解析：

image-20221014142422374

CH02-KP5-02: 求下图中的电容电压、电感电流，以及电容电压的储能

image-20221014142541600
参考答案; ;
SPCICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP5-02.asc
image-20250301104654919
注意：LTspice 里的电感默认有 1 mΩ 的串联电阻，需要设置串联电阻值为 0，以覆盖默认值；Windows 版本的 LTspice 可以在电路图上标注元件电流，Mac 版本需要通过 log 查看。

解析：

image-20221014142607666

知识点6：电源变换 ​

CH02-KP6-01: 采用电源变化，求下图中的

image-20221016170855635
参考答案111 mA
SPICE仿真仿真文件见 Github spice/ch02/CH02-KP6-01.kicad_sch
image-20250227170341890

解析：

image-20221016170921856image-20221016171000008