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正弦稳态电路的相量分析

INFO

5. 正弦稳态电路的相量分析(建议2学时)

5.1 正弦量的基本概念

​ 5.1.1 正弦量的重要特性参数

​ 5.1.2 正弦量的相量表示

5.2 正弦稳态电路的相量分析方法

​ 5.2.1 电路基本物理量的相量描述

​ 5.2.2 基尔霍夫定律的相量形式

​ 5.2.3 电路定理在相量域的推广(包括叠加定理、戴维南定理和诺顿定理)

​ 5.2.4 电路分析方法在相量域的推广(包括网孔电流法和节点电压法)

TIP

  1. 三角函数图示记忆方法
image-20220905125538104
  1. 正弦交流电量的概念与特性参数

      • , 幅值(amplitude),或振幅

      • , 角频率(angular frequency)

      • , 相位(phase),或“初始相位”

      • , 幅角(argument),或“相位”

      • 正弦函数的三要素:幅值、角频率、初始相位

    • 瞬时电压超前(leads) 瞬时电压 相位

    • 有效值:一个时变周期电压在一个周期内消耗在电阻上的功率,可以用一个恒定的电压来等效,该恒定电压就是该时变电压的有效值。当时变电压为正弦函数时,有效值为其峰值的

  2. 相量形式与相量图

    • 相量(phasor)是由正弦信号的振幅()和相位()构成的一个复数

      image-20220905130927324
    • 时域 to 相量域(频域),好处是少了时间量,代价是需要复数运算

      • 时域 to 相量域:pick up 振幅和相位,构成一个复数,隐含频率信息 ()

      • 相量域 to 时域:乘以 取实部,

      • 在相量域更容易处理积分和微分

        image-20220905132239749
    • 电路分析中,时域量常用余弦形式表示,但正弦形式也是可以的

    • 相量分析法:

      • step 1: 电源、RLC元件等相关电路参量转换到相量域;
      image-20220905132454493
      • step 2: 在相量域进行电路分析;
      • step 3: 将结果从相量域转换到时域;
      • tips: 如果初始电路含有不同的 ,则需对不同 单独分析,在时域上叠加
    • 阻抗和导纳:电阻和电导在频域中的推广

      • (阻抗),(电阻),(电抗) ;
      • (导纳),(电导),(电纳);
    • 相量图即复平面图

      • 因为较多情况是“施加电压,求电流”,所以在描述相位关系时,常用“电流超前/滞后电压多少相位”的形式

      • 感性电路,电流滞后电压

      • 容性电路,电流超前电压

        image-20220905154208197
  3. 频域(相量域)的相关电路定理:

    • 时域中的电路定理在相量域中同样适用
    • 叠加定理需注意:电路中若有不同的频率,只能时域叠加,不能相量域叠加

习题及参考解答

知识点1:正弦交流量的概念与特性参数

CH04-KP1-01: 有效值为 1V 的正弦交流电压信号衰减 3dB 之后的信号最大值是 ________ V。

A.

B.

C.1

D.

参考答案C

解析:

对于正弦波,有效值为峰值的 ; 3dB 表示半功率,也即电压幅度为峰值

CH05-KP1-02: 正弦交流激励下,电容两端的电压 ________ 通过它的电流 ________ 度。

A. 超前

B. 滞后

C. 45

D. 90

E. 180

参考答案B,D

解析:

根据电容电压电流的频域约束关系,

CH05-KP1-03: 正弦交流激励下,电感两端的电压 ________ 通过它的电流 ________ 度。

A. 超前

B. 滞后

C. 45

D. 90

E. 180

参考答案A,D

解析:

根据电感电压电流的频域约束关系,

CH05-KP1-04: 电流 相位差是 ________ ,其中相位超前的是 ________ 。

参考答案

解析:

转换成 形式,

CH05-KP1-05: 正弦电压 对应的相量表示为 ________ 。

A.

B.

C.

D.

参考答案D

解析:

根据定义

CH05-KP1-06: 正弦量的三要素为________ 、________ 和 ________。

参考答案幅值、角频率、初相位

解析:

根据定义

CH05-KP1-07: 电流 的相位 ________ (超前/滞后) ________ 度。

参考答案超前,120

解析:

把负号放到cos表达式里面后再比较

CH05-KP1-08: 电压 与电流 相比,相位差为 ________ 。

A. 超前54°

B. 滞后54°

C. 超前36°

D. 滞后36°

参考答案B

解析:

把 sin 转换为 cos,或把 cos 转换为 sin 后再比较

CH05-KP1-09: 正弦电压向量为 (15是有效值),频率为 50 Hz ,则它对应的瞬时表达式为 ________ 。

A.

B.

C.

D.

参考答案D

解析:

根据定义

CH05-KP1-10: 已知两个支路的电流分别可表示为 ,比较两者的相位,前者 ________ (超前/滞后)后者 ________ 度。

参考答案滞后,135

解析:

按惯例,超前或滞后角度的绝对值不超过180°

CH05-KP1-11: 两同频率的正弦电压可表示为 ,则它们的相位差为 ________ 。

A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 150°

参考答案B

解析:

化成相同的形式再比较

CH05-KP1-12: (1) 根据下图的相量图,求 的相量;

​ (2) 正弦变量 对应的相量为?

3-1-13

解析:

(1) 方法1:图解法

image-20220914085622778

​ 由图可得:

​ 方法2:

​ 由图可知:

​ 故而,

(2)

CH05-KP1-13: 正弦交流电路中,以下阐述理解正确的是 ________ 。

A. 如果电路中存在多个不同频率的源,则不能使用叠加定理直接分析电路。

B. 如果通过负载的电流超前其两端的电压,则该负载为感性负载。

C. 如果某无源网络的输入阻抗是,其导纳为

D. 电感两端电压超前电流90度,电容两端电压落后电流90度。

参考答案D

解析:

A, 可以在时域中使用叠加定理,所以错误;B和C显然是错误的。

知识点2:非纯电阻电路的分析

CH05-KP2-01: 以下电桥的平衡条件是 ________ 。

3-1-1

A.

B.

C.

D.无法平衡

参考答案A

解析:

阻抗按比例

CH05-KP2-02: 若在一个 50 μF 的电容两端施加一电压 ,则流经该电容的电流值为 ________ 。

参考答案 mA 或 mA

解析:

按电容的电压电流约束关系

CH05-KP2-03: 若 RC 串联电路对频率为 100 Hz 的正弦波的阻抗为 (2 - j6) Ω,则该串联电路对频率为 300 Hz 的正弦波的阻抗为 ________ 。

参考答案(2 - j2) Ω

解析:

根据电容的阻抗定义

CH05-KP2-04: 如果 RL 串联电路对频率为 300Hz 的正弦信号的阻抗为 (1 + j3) Ω,则对频率为 100Hz 的正弦信号,该串联电路的阻抗为 ________ ,构成并联电路时的导纳为 ________ 。

参考答案(1 + j) Ω ;(1 - j) S

解析:

根据电感的阻抗定义

CH05-KP2-05: 若 RC 串联电路对频率为 100 Hz 的正弦波的阻抗为 (3 - j9) Ω,则该串联电路对频率为 300 Hz 的正弦波的阻抗为 ________ 。

参考答案(3 - j3) Ω

解析:

根据电容的阻抗定义

CH05-KP2-06: 若 RC 串联电路对频率为 100 Hz 的正弦波的阻抗为 (4 - j16) Ω,则该串联电路对频率为 400 Hz 的正弦波的阻抗为 ________ 。

参考答案(4 - j4) Ω

解析:

根据电容的阻抗定义

CH05-KP2-07: 右图所示电路中, 。则 = ________ (用极坐标形式表示)

3-2-7
参考答案1.131∠81.87° A

解析:

可以先并联等效,再按分流计算

CH05-KP2-08: 下图中,若电流 ,电压 ,那么该元件是 ________ 。

3-2-8

A. 电感

B. 电容

C. 电阻

参考答案B

解析:

电流与电压的导数成比例,故为电容

CH05-KP2-09: 下图所示电桥的平衡条件是 ________ 。

3-2-9

A.

B.

C.

D. 无法平衡

参考答案D

解析:

无法实现阻抗按比例

CH05-KP2-10: 下图所示电路中,,通过 电阻电流的有效值应为__ __

3-2-10

A. 4 A

B.

C.

D. 2 A

参考答案B

解析:

参考一:

image-20241025084056452

参考二:

3-2-10-solution

CH05-KP2-11: 下图为三个阻抗串联的电路:,外加电压 。求电流及各阻抗上的电压。

3-2-12

解析:

CH05-KP2-12: 下图中, A,求

image-20221016174941447

解析:

image-20221016175009270image-20221016175026578

CH05-KP2-13: 下图中, rad/s,求输入阻抗

image-20221016175250262

解析:

image-20221016175316233image-20221016175330806

CH05-KP2-14: 求下图的等效阻抗

image-20221016175414332

解析:

image-20221016175438338

知识点3:电路定理在相量域的推广

CH05-KP3-01: 用叠加原理求解下图所示电路中的

3-3-1

解析:

采用叠加定理,

先考虑电压源 12cos3t V 独立作用时, 电容阻抗为,电感阻抗为

得到

考虑电流源 4sin2t V = 4cos(2t - 90°) V 独立作用时,电容阻抗为,电感阻抗为

得到 ;

考虑电压源 10V 独立作用时:

得到 V;

CH05-KP3-02: 正弦稳态电路中,系统可以用戴维南定理等效为电源 和等效阻抗 。要使系统传输到负载 上的平均功率最大,负载和系统等效阻抗之间的关系是 ________ 。

3-3-2

A.

B.

C.

D.

参考答案C

解析:

共轭阻抗匹配

CH05-KP3-03: 用节点电压法求下图所示电路在稳态下的

3-3-3

解析:

在频域内求解,给出电路图的相量表示。

解-3-3-3

对节点 1 和节点 2 分别用 KCL,得到:

将上述两式变成标准形式

对上述方程组求解,得到

image-20220905174613640

转变到时域形式,得到

CH05-KP3-04: 已知下图所示电路中 ,求流过电容的电流

3-3--5

解析:

(1) 仅考虑电流源,turn off 电压源

(2) 仅考虑电压源,turn off 电流源

(3) 时域叠加

综上,

CH05-KP3-05: 下图中,ab 左侧部分可用诺顿等效电路等效,求

(1) 诺顿等效电流源 和等效阻抗

(2)

3-3-6

解析:

(1) 输出端短路,求

(2) 独立源置零,在端口处施加一 1∠0° V 的电压,求等效阻抗

CH05-KP3-06: 计算输出电阻 Z 。

3-3-7

解析:

对左上方小 电阻网络和下方小 电容网络使用 转换,得到:

解-3-3-7

那么可以得到,电路的等效输出阻抗为

CH05-KP3-07: 请使用节点电压法,分析下面电路,计算

image-20221014173526679

解析:

image-20221014173612274

CH05-KP3-08: 计算下图中的电流

image-20221014173721582

解析:

image-20221014173756350

CH05-KP3-09: 采用叠加定理分析以下电路,计算

image-20221014173933407

解析:

image-20221014174000841

CH05-KP3-10: 下面电路中,求 端的戴维南等效电路

image-20221014174134916

解析:

image-20221014174212200

CH05-KP3-11: 下图中,,请用节点电压法,求

image-20221016182525660

解析:

image-20221016182548259image-20221016182609928

CH05-KP3-12: 下面电路中, A,请用网孔电流法,求

image-20221016182746885

解析:

image-20221016182810241

CH05-KP3-13: 下图中, A,请用网孔电流法,求

image-20221016211148924

解析:

image-20221016211216487image-20221016211230141

CH05-KP3-14: 求下列电路的戴维南和诺顿等效电路

image-20221016211502319

解析:

image-20221016211543434

CH05-KP3-15: 如下图所示电路,已知 ,用叠加原理求电容两端的电压

image-20221108130704675

解析:

(1) 保留 5 V 的电压源,turn off 电流源和 电压源

​ 电路稳定后,电感等效于短路,故有:

(2) 保留电流源,turn off 两个电压源

​ 解得:

(3) 保留 电压源,turn off 电流源和 5 V 的电压源

​ 解得:

(4) 综上,

CH05-KP3-16: 用网孔电流法求解下图中的

2-4-8

解析:

设三个网孔的电流从左往右依次为 ,方向为顺时针。

则有网孔电流方程

计算得到

image-20220913171230401

CH05-KP3-17: 如下图所示电路,设 ,用节点电压法求 的稳态表达式。

2-5-12

解析:

以底端节点作为参考节点,则上方节点电压为

列节点电压方程

其中,,代入 计算得:

image-20220913173751086

CH05-KP3-18: 已知 = 10 mH, = 50 mF, = 100 mF,求正弦稳态电路中电容 两端的电压

image-20241027202458847

解析:

image-20241027202617510

知识点4:其他

CH05-KP4-01: 下列哪种说法不正确?

A. 理想直流电流源的输出电流始终是一个定值,与它两端的电压无关

B. 双端网络的端口电压超前电流时,该网络一定是感性的

C. 受控源在电路分析中的作用和理想源相同,都可视为激励源看待

D. 戴维南定理和诺顿定理仅适用于线性电路

参考答案C

解析:

受控源和独立源的对待方式不同,比如在求等效电阻时,独立源turn off,而受控源要保留