理想运算放大器及其应用电路

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9. 理想运算放大器及其应用电路（建议6学时）

9.1 运算放大器基础

9.1.1 运算放大器的结构及其电路符号

9.1.2 运算放大器的理想模型

9.2 运算放大器基本应用电路

9.2.1 反相和同相接法电路

9.2.2 常用运算放大器应用电路（包括线性和非线性应用电路）

TIP

理想运放特性、同相接法与反相接法的电路分析、运算放大器的应用及电路分析（信号运算、处理与发生）、有限开环增益及分析。

掌握 “虚短”、“虚断”的概念即可以分析理想运算放大器电路

习题及参考解答

知识点1：理想运放的特性

1、关于理想的运算放大器，下列陈述不正确的是 ________ 。

A. 输出阻抗趋于零 B. 开环放大增益趋于无穷大

C. 输入阻抗趋于无穷大 D. 闭环差模增益趋于无穷大

D

2、理想运放的两个输入端可以看成 “ 虚短 ” 是因为 ________ ，“ 虚断 ” 是因为 ________ 。

A．差模增益趋于无穷大 B．输入阻抗趋于无穷大

C．输出阻抗趋于零 D．共模抑制比趋于无穷大

A B

知识点2：运算放大器的应用及电路分析

1、欲将方波电压转换成三角波电压，应选用 ________ 。

A. 对数运算电路 B. 加减运算电路

C. 微分运算电路 D. 积分运算电路

D

2、求解下图所示电路的运算关系。

设 $R_{3}$ 、 $R_{4}$ 、 $R_{5}$ 的公共点为 M。
利用虚短、虚断，列出基尔霍夫定律方程如下：
$\frac{v_{i 1}}{R_{1}} + \frac{v_{i 2}}{R_{2}} = \frac{- v_{M}}{R_{3}}$
$\frac{v_{M}}{R_{3}} + \frac{v_{M}}{R_{5}} = \frac{v_{o} - v_{M}}{R_{4}}$
利用上述两个方程，得到：
$v_{o} = - R_{3} R_{4} (\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{5}}) (\frac{v_{i 1}}{R_{1}} + \frac{v_{i 2}}{R_{2}}) = - (R_{3} + R_{4} + \frac{R_{3} R_{4}}{R_{5}}) (\frac{v_{i 1}}{R_{1}} + \frac{v_{i 2}}{R_{2}})$

3、如下图所示电路，其输出电压与输入电压的关系近似为 ________ 。

A. $10 v_{I 1} + 10 v_{I 2} + v_{I 3}$ B. $10 v_{I 1} - 10 v_{I 2} - v_{I 3}$

C. $- 10 v_{I 1} + 10 v_{I 2} + v_{I 3}$ D. $- 10 v_{I 1} - 10 v_{I 2} - v_{I 3}$

C

4、下列哪个电路是由理想运放器构成的微分电路 ________ 。

A. 14-2-4-A B. 14-2-4-B

C. 14-2-4-C D. 14-2-4-D

A

5、以下运算放大器中，哪一个实现积分功能 ________ 。

A. 14-2-7-A B. 14-2-7-B

C. 14-2-7-C D. 14-2-7-D

C

6、写出如下图所示电路输出电压的表达式 $v_{O} = f (v_{I 1} + v_{I 2} + v_{I 3})$ 。

$∵ υ_{O 1} = υ_{I 1}, υ_{O 2} = υ_{I 2}, υ_{O 3} = υ_{I 3}$
$∴ v_{O} = \frac{R_{2} / / R_{3}}{R_{1} + R_{2} / / R_{3}} \cdot v_{I 1} + \frac{R_{1} / / R_{3}}{R_{2} + R_{1} / / R_{3}} \cdot v_{I 2} + \frac{R_{1} / / R_{2}}{R_{3} + R_{1} / / R_{2}} \cdot v_{I 3}$
或 $v_{O} = (R_{1} / / R_{2} / / R_{3}) (\frac{v_{I 1}}{R_{1}} + \frac{v_{I 2}}{R_{2}} + \frac{v_{I 3}}{R_{3}})$
或 $v_{O} = \frac{\frac{v_{I 1}}{R_{1}} + \frac{v_{I 2}}{R_{2}} + \frac{v_{I 3}}{R_{3}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}} = \frac{R_{2} R_{3} v_{I 1} + R_{1} R_{3} v_{I 2} + R_{1} R_{2} v_{I 3}}{R_{2} R_{3} + R_{1} R_{3} + R_{1} R_{2}}$
【注】利用线性叠加原理分析

7、推导下图所示电路的运算关系。

两级电路
第一级：
$I_{R 1} = \frac{v_{I 1} - v_{I 2}}{R_{1}}$ 方向从上往下
$v_{o 1} = v_{I 1} + I_{R 1} R_{2} = v_{I 1} + \frac{v_{I 1} - v_{I 2}}{R_{1}} R_{2}$
$v_{o 2} = v_{I 2} - I_{R 1} R 2 = v_{I 2} - \frac{v_{I 1} - v_{I 2}}{R_{1}} R_{2}$
第二级是差动放大器，故而
$v_{o} = \frac{R_{4}}{R_{3}} (v_{o 2} - v_{o 1}) = \frac{R_{4}}{R_{3}} (1 + \frac{2 R_{2}}{R 1}) (v_{I 2} - v_{I 1})$

8、如下图所示电路，设电源电压、各电阻阻值和三极管 $β$ 均已知，求输出电压 $V_{o}$ 的表达式。

$V_{+ A 1} = V_{- A 1} = \frac{V_{C C}}{2}$
$I_{C} = \frac{V_{C C} - V_{C C} / 2}{R_{C}} = \frac{V_{C C}}{2 R_{C}}$
$\frac{V_{2} - V_{1}}{R_{1}} = \frac{V_{1} - V_{B}}{R_{1}} = I_{B}$
$∴ V_{1} = I_{B} R_{1} + V_{B}, V_{2} = 2 I_{B} R_{1} + V_{B}$
$\frac{V_{O} - V_{- A 2}}{R_{2}} = \frac{V_{- A 2} - V_{O A 3}}{R_{2}}, \frac{V_{O A 3} - V_{- A 3}}{R_{3}} = \frac{V_{- A 3}}{R_{3}}$
$V_{- A 2} = V_{+ A 2} = V_{2}, V_{- A 3} = V_{+ A 3} = V_{1}$
化简得到：
$V_{O} = 2 I_{B} R_{1} = \frac{V_{C C} R_{1}}{β R_{C}}$
【注】 $V_{2} - V_{1} = I_{B} R_{1}$ ； $V_{o} = 2 (V_{2} - V_{1})$

9、设下图为理想集成运放， $u_{1} = 0.5 V$ ，负载电阻 $R_{L}$ 上的电压 $u_{o} =$ ________ ，电流 $i_{L} =$ ________ 。

-1V -0.1mA。inverting结构，增益 $- 2$

10、下图所示电路中，电压增益 $v_{o} / v_{i}$ 的幅度是 ________ dB。

20

11、如下图所示电路，当电路中各个电阻的阻值相等时，求电路增益 $A = v_{o} / v_{i}$ 。

设从左至右的R排列为1-6，流过的电流分别对应1-6
则 $i_{1} = i_{2} = i_{3}$ ， $i_{4} = i_{2} + i_{3} = 2 i_{1}$
又 $i_{4} R + i_{3} R = i_{5} R$
即 $i_{4} + i_{3} = i_{5} = 3 i_{1}$
$i_{6} = i_{4} + i_{5} = 5 i_{1}$
$v_{I} = i_{1} R$
$v_{O} = - (i_{2} R + i_{4} R + i_{6} R) = - 8 i_{1} R$
$A = \frac{v_{O}}{v_{I}} = - 8 V / V$

12、一个反向运算放大器如下图所示，其电压增益为 −4，且所用电阻的总和为 100 kΩ ，则 $R_{1}$ = ________ ， $R_{2}$ = ________ 。

20 kΩ 80 kΩ。 $R_{2} / R_{1} = 4$

13、如下图所示运算放大器组成的应用电路，求

(1) 中频增益 $A_{u} = \frac{u_{o}}{u_{i 2} - u_{i 1}}$ 的表达式（用符号表示）。

(2) 最大中频增益 $A_{u m a x}$ 和最小中频增益 $A_{u m i n}$ 。

(1) $A_{u} = \frac{\vec{U_{o}}}{\vec{U_{i 2}} - \vec{U_{i 1}}} = \frac{\vec{U_{o 2}} - \vec{U_{o 1}}}{\vec{U_{i 2}} - \vec{U_{i 1}}} \times \frac{\vec{U_{o}}}{\vec{U_{o 2}} - \vec{U_{o 1}}} = A_{u 1} \times A_{u 2}$
其中
$A_{u 1} = \frac{i_{G} (R_{2} + R_{G} + R_{2})}{\vec{U_{i 2}} - \vec{U_{i 1}}} = \frac{(\frac{\vec{U_{i 2}} - \vec{U_{i 1}}}{R_{G}}) (R_{G} + 2 R_{2})}{\vec{U_{i 2}} - \vec{U_{i 1}}} = (1 + \frac{2 R_{2}}{R_{G}})$ ( $R_{G} = R_{1} + R_{W}$ )
$A_{u 2} = \frac{\vec{U_{o}}}{\vec{U_{o 2}} - \vec{U_{o 1}}} = \frac{R_{4}}{R_{3}}$
故
$A_{u} = A_{u 1} \times A_{u 2} = \frac{R_{4}}{R_{3}} (1 + \frac{2 R_{2}}{R_{G}})$
(2) $R_{G m a x} = 10 k Ω$ ， $R_{G m i n} = 1 k Ω$
$A_{u m i n} = \frac{R_{4}}{R_{3}} (1 + \frac{2 R_{2}}{R_{G} m a x}) = 5 \times (1 + \frac{2 \times 20}{10}) = 25$
$A_{u m a x} = \frac{R_{4}}{R_{3}} (1 + \frac{2 R_{2}}{R_{G} m i n}) = 5 \times (1 + \frac{2 \times 20}{1}) = 205$

14、已知某电路输入电压和输出电压的波形如下图所示，该电路可能是 ________ 。

A. 积分电路 B. 微分电路 C. 过零比较器 D. 迟滞比较器

A

15、如下图所示电路，A1 ~ A5 均为理想运放，当开关 S1 打开以后，电路处于稳态情况下输出电压 $v_{o} =$ ________ ；当开关闭合时， $v_{o} =$ ________ 。

0 V -6 V。（1）A1out, 2V; A4out, $2 \times - 1.5 = - 3 V$ ; A5-, -2V; A5out, $- 2 + 1 \times 2 = 0 V$ ; （2）A4out, 0V, A5out, $- 2 - 2 \times 2 = - 6 V$ ;

16、配置下图所示电路中所有电阻的阻值，使电路增益 $A = v_{o} / v_{i} = - 50$ 。实验能提供阻值小于等于 100 kΩ 的任意电阻，图中每个电阻符号只对应一个电阻，要求使放大器的输入电阻最大，同时要求选择的电阻规格的种类最少，以简化工艺，降低成本。

$R_{i} = R_{1}$ ，取 $R_{1} = 100 k Ω$
$v_{o} = - i_{2} R_{2} - i_{4} R_{4}$
$v_{i} = R_{1} i_{1}$
$i_{1} = i_{2} = \frac{v_{i}}{R_{1}}$
$i_{3} = - \frac{R_{2}}{R_{3}} i_{2}$
$i_{4} = i_{2} - i_{3} = \frac{R_{2} + R_{3}}{R_{1} R_{3}} v_{i}$
$v_{o} = - \frac{R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} + R_{3} R_{4}}{R_{3}} v_{i}$
$∴ A = \frac{v_{o}}{v_{i}} = - \frac{R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} + R_{3} R_{4}}{R_{1} R_{3}} = - 50$
$R_{2} + R_{4} + \frac{R_{2} R_{4}}{R_{3}} = 5000$
取 $R_{2} = 100 k Ω$ ， $R_{4} = 100 k Ω$ ， $R_{3} = 2.08 k Ω$ 。

17、由理想运放组成的电路如下图所示，其输出电压 $v_{o}$ 与输入电压 $v_{i 1}$ 、 $v_{i 2}$ 的关系为 ________ 。

A. $v_{o} = 8 (v_{i 1} + v_{i 2})$ B. $v_{o} = 8 (v_{i 1} - v_{i 2})$

C. $v_{o} = 8 (v_{i 2} - v_{i 1})$ D. $v_{o} = 4 (v_{i 1} + v_{i 2})$

C。叠加定理，只考虑 $v_{i 1}$ , $v_{o} = v_{i 1} \times (- 8)$ ；只考虑 $v_{i 2}$ , $v_{o} = v_{i 2} \times \frac{8}{9} \times (1 + 8) = v_{i 2} \times 8$

18、下图为运算放大器的两种基本电路，若图中的 $R_{1}$ 均为 $1 k Ω$ ， $R_{2}$ 均为 $5 k Ω$ ，则图（a）和图（b）电路的输入电阻分别为 ________ 和 ________ 。

1 kΩ 无穷大

19、电路如下图所示，其中运算放大器均为理想运算放大器。

(1) 计算该电路的输出电压与输入电压的运算关系；

(2) 计算该电路的输出电阻。

$\frac{v_{i 1} - v_{i 4}}{R_{1}} + \frac{v_{i 2} - v_{i 4}}{R_{1}} + \frac{v_{i 3} - v_{i 4}}{R_{1}} = \frac{v_{i 4}}{R_{2}}$
$v_{i 4} = \frac{R_{2}}{R_{1} + 3 R_{2}} (v_{i 1} + v_{i 2} + v_{i 3})$
$v_{o} = \frac{v_{i 4}}{R_{3}} \times (R_{2} + R_{3}) = \frac{R_{2}}{R_{1} + 3 R_{2}} (v_{i 1} + v_{i 2} + v_{i 3}) \frac{R_{2} + R_{3}}{R_{3}} = 10 (v_{i 1} + v_{i 2} + v_{i 3})$
$R_{o} = 0 k Ω$

20、试用一个理想运算放大器实现运算电路 $v_{o} = 15 v_{1} + 6 v_{2}$ ，要求画出电路，并确定电路元件参数。

实现电路如下图所示：
$v_{o} = (1 + \frac{R_{f}}{R_{4}}) (\frac{R_{1} / / R_{2} / / R_{3}}{R_{1}} v_{1} + \frac{R_{1} / / R_{2} / / R_{3}}{R_{2}} v_{2})$
当满足 $R_{1} / / R_{2} / / R_{3} = R_{4} / / R_{f}$ 时，有
$v_{o} = \frac{R_{f}}{R_{1}} v_{1} + \frac{R_{f}}{R_{2}} v_{2}$
则要求 $\frac{R_{f}}{R_{1}} = 15, \frac{R_{f}}{R_{2}} = 6$
选取 $R_{f} = 30 k Ω, R_{1} = 2 k Ω, R_{2} = 5 k Ω, R_{3} = 3 k Ω$

21、如下图所示放大电路中，已知 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 均为理想运算放大器， $R_{1} = R_{2}$ 。

(1) 推导负载电流 $i_{L}$ 的表达式；

(2) 若要求 $i_{L} = \frac{v_{i}}{R}$ ， $R_{3}$ 的值应满足什么关系？

(1) 运放 $A_{1}$ 的输出电压
$v_{o 1} = - \frac{R_{2}}{R_{1}} v_{i} - \frac{R_{2}}{R_{3}} v_{o} = - v_{i} - \frac{R_{2}}{R_{3}} v_{o}$
运放 $A_{2}$ 的输出电压
$v_{o 2} = - \frac{R_{2}}{R_{1}} v_{o 1} = - v_{o 1} = v_{i} + \frac{R_{2}}{R_{3}} v_{o}$
由于虚地， $i_{3} = \frac{v_{o}}{R_{3}}$
而 $i_{R} = \frac{v_{o 2} - v_{o}}{R} = \frac{v_{i}}{R} + \frac{R_{2} - R_{3}}{R R_{3}} v_{o}$
于是 $i_{L} = i_{R} - i_{3} = \frac{v_{i}}{R} + \frac{R_{2} - R_{3} - R}{R R_{3}} v_{o} = \frac{v_{i}}{R} + \frac{R_{2} - R_{3} - R}{R R_{3}} \cdot i_{L} R_{L}$
可解出负载电流 $i_{L} = \frac{v_{i}}{R - \frac{R_{L}}{R_{3}} (R_{2} - R_{3} - R)}$
(2) 欲使 $i_{L} = \frac{v_{i}}{R}$ ，必须使 $R_{2} - R_{3} - R = 0$ ，即 $R_{3}$ 的值应满足
$R_{3} = R_{2} - R$

22、求由理想运放组成的如下电路的电压增益 $v_{o} / v_{i}$ 。

分别列出运放 1 反相输入端的节点电流方程
$\frac{v_{i}}{R_{1}} + \frac{v_{o 1}}{R_{2}} + \frac{v_{o}}{R_{3}} = 0$
由理想运放假设可知
$v_{o 1} = \frac{R_{4}}{R_{4} + R_{5}} v_{o}$
整理后得到
$\frac{v_{o}}{v_{i}} = - \frac{R_{2} R_{3} (R_{4} + R_{5})}{R_{1} (R_{2} R_{4} + R_{2} R_{5} + R_{3} R_{4})}$

理想运算放大器及其应用电路 ​

习题及参考解答 ​

知识点1：理想运放的特性 ​

知识点2：运算放大器的应用及电路分析 ​

理想运算放大器及其应用电路

习题及参考解答

知识点1：理想运放的特性

知识点2：运算放大器的应用及电路分析